Przekształcenie Laplace’a dystrybucji

Transformate Laplace'a określimy tylko dla pewnego podzbioru zbioru wszystkich dystrybucji. Mianowicie, oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) zbiór dystrybucji skończonego rzędu takich, że \( \hskip 0.3pc T\in D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja ciągła \( \hskip 0.3pc g:\mathbb R\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest pochodną dystrybucyjną skończonego rzędu z funkcji \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) (tzn. \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)})\hskip 0.3pc \) a ponadto:

\( 1^0.\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc g(t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t<0;\hskip 0.3pc \)

\( 2^0.\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) posiada transformatę Laplace'a.

Definicja 1:

Dla dystrybucji \( \hskip 0.3pc T\in D^*_0(\mathbb R ),\hskip 0.3pc \) określamy transformatę Laplace'a wzorem

\( {\cal L}(T)(z)=z^k{\cal L}(g(t))(z), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą taką, że \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)},\hskip 0.3pc \) a ponadto \( \hskip 0.3pc g(t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t<0.\hskip 0.3pc \)

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada transformatę Laplace'a w sensie klasycznym .

TEZA:

Wtedy \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada również transformatę Laplace'a w sensie dystrybucyjnym i transformaty te są sobie równe.

DOWÓD:

Niech \( \hskip 0.3pc F={\cal L}(f)\hskip 0.3pc \) będzie transformatą Laplacea funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) w sensie klasycznym. Połóżmy

\( g(t)=\displaystyle\int_0^tf(s)ds . \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) spełnia warunki \( \hskip 0.3pc 1^0\hskip 0.2pc \) i \( \hskip 0.2pc 2^0\hskip 0.3pc \) i ponadto \( \hskip 0.3pc g^\prime=f\hskip 0.3pc \) prawie wszędzie. Zgodnie z zależnością 6 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a"

\( {\cal L}(g)(z)=\dfrac 1z{\cal L}(f)(z)= \dfrac 1z F(z). \)

Stąd \( \hskip 0.3pc F(z)=z{\cal L}(g)(z).\hskip 0.3pc \)
Z drugiej strony, zgodnie z definicją 1, transformata z dystrybucji \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) ( \( T_f\hskip 0.3pc \)-dystrybucja generowana przez funkcję \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \)) wyraża się wzorem

\( {\cal L}(T_f)(z)={\cal L}(T_{g^\prime})(z)= z{\cal L}(g(t))(z)=z{\cal L}\Big(\displaystyle\int_0^tf(s)ds\Big)(z)=z\dfrac 1z F(z)=F(z) , \)

co kończy dowód.

Wyznaczmy teraz ponownie (zob. przykład 7 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" ) transformatę Laplace'a z dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) korzystając z definicji 1.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją 2-go rzędu \( \hskip 0.3pc \delta =h^{\prime\prime},\hskip 0.3pc \) gdzie

\( h(t)=\begin{cases}t, & t\geq 0;\\ 0& t<0\end{cases} \)

więc zgodnie z definicją 1 mamy

\( {\cal L}(\delta(t) )(z)=z^2{\cal L}(h(t))(z)=z^2\dfrac{1}{z^2}=1 \)

oraz

\( {\cal L}\big(\delta(t-t_0)\big)(z)=z^2{\cal L}(h(t-t_0))(z)=z^2\dfrac {e^{-zt_0}}{z^2}= e^{-zt_0}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta^{(n)}=h^{(n+2)}\hskip 0.3pc \) zgodnie z definicją 1 mamy

\( {\cal L}(\delta^{(n)}(t))(z)=z^{n+2}{\cal L}(h(t))(z)=z^{n+2}\dfrac{1}{z^2}=z^n, \)

oraz

\( {\cal L}(\delta^{(n)}{(t-t_0)}(z)=z^{n+2}{\cal L}(h(t-t_0))(z)=z^{n+2}\dfrac {e^{-zt_0}}{z^2}=z^{n} e^{-zt_0}. \)

Podobnie, ponieważ \( \hskip 0.3pc H(t-t_0)=h^\prime(t-t_0),\hskip 0.3pc \) mamy

\( {\cal L}\big( H(t-t_0)\big)(z)={\cal L}\big( h^\prime(t-t_0)\big)(z)= z{\cal L}\big(h(t-t_0)\big)(z)=z\dfrac{e^{-zt_0}}{z^2}= \dfrac{e^{-zt_0}}z. \)

Zauważmy też, iż po sprawdzeniu, że zależność 5 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" zachodzi dla pochodnych dystrybucyjnych, mamy następujący prosty rachunek

\( {\cal L}\big( H ^\prime(t-t_0)\big)(z)= z{\cal L}\big( H(t-t_0)\big)(z)-H(-t_0)= z \dfrac{e^{-zt_0}}z =e^{-zt_0}= {\cal L}\big(\delta (t-t_0)\big)(z). \)

Z ostatniej równości wynika natychmiast znana zależność

\( H ^\prime(t-t_0)=\delta (t-t_0). \)

Podobnie możemy pokazać, że

\( H ^{(n)}(t-t_0)=\delta^{(n-1)}(t-t_0). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka